Regra de Três Composta: para muitos um monstro e para poucos, uma dádiva.

Algumas vezes eu me surpreendo com as dúvidas matemáticas que as pessoas me apresentam e uma delas é sobre como resolver problemas que envolvam regra de três composta.
 
Por isso eu resolvi iniciar este blog de matemática com um artigo que visa dirimir quaisquer dúvidas a esse respeito sem, contudo, me aprofundar muito na teoria, ou seja, darei mais uma "receitinha de bolo" do que propriamente um artigo teórico sobre regra de três simples ou composta.
 
Em primeiro lugar devemos entender o que é uma grandeza.
 
Grandeza é qualquer coisa que possa ser contada ou medida.
 
Dessa forma alunos, casas, pedreiros, distância, comprimento, tempo, etc. são grandezas quando se atribui um número a elas.
 
As grandezas alunos, casas, pedreiros são resultados de uma contagem enquanto que as grandezas distância, comprimento, tempo são resultados de uma medição.
 
Agora, precisamos definir o que vem a ser proporcionalidade.
 
Proporcionalidade é a variação proporcional de uma grandeza em relação à outra, ou seja, quando uma grandeza inter-relacionada com outra aumenta ou diminui de uma unidade, a outra também aumenta ou diminui de uma ou mais unidades.
 
Ficou meio complicado e por isso vou simplificar com dois exemplos:
 
1) um carro percorre 10 km com 1 litro de gasolina, com 2 litros percorrerá 20 km, com 3 litros percorrerá 30 km e assim por diante.
Como podem ver, as duas grandezas distância percorrida em km e quantidade de litros de gasolina estão inter-relacionadas e quando se aumenta ou diminui uma, a outra também aumenta ou diminui proporcional e respectivamente.
 
2) 40 pedreiros fazem uma casa em 20 dias, 20 pedreiros farão em 40 dias, 10 pedreiros farão em 80 dias e assim por diante.
Como podem ver, as duas grandezas quantidade de pedreiros e quantidade de dias estão inter-relacionadas e quando se aumenta ou diminui uma, a outra também diminui ou aumenta (note que agora está invertido) proporcional e respectivamente.
 
Agora, de posse dos dois exemplos, podemos conceituar o que são grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais.
 
Grandezas diretamente proporcionais são grandezas inter-relacionadas onde se uma aumenta a outra também aumenta e se uma diminui a outra também diminui, ambas proporcionalmente, ou seja, variando sempre na mesma proporção. É o caso do exemplo 1.
 
Grandezas inversamente proporcionais são grandezas inter-relacionadas onde se uma aumenta a outra diminui e se uma diminui a outra aumenta, ambas proporcionalmente. É o caso do exemplo 2.
 
CHEGA!!! VAMOS LOGO AO QUE INTERESSA!!! QUEREMOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS!!!
 
-Tá bom, tá bom!!! Chega de ladainha e vamos ao que interessa. Só que ainda tem mais uma coisinha.
 
Regra de três simples é quando o problema apresenta apenas duas grandezas e de três composta quando o problema apresenta mais de duas grandezas.
 
E por que esse nome REGRA DE TRÊS? Simples. Numa proporção sempre teremos duas razões nas quais há quatro termos numéricos como ilustrado abaixo:
 
Proporção: 4/5 = 8/10
 
Quando um dos termos é desconhecido, ou seja, é colocado um X no lugar dele, então teremos 3 termos conhecidos e 1 desconhecido.
 
Por isso damos o nome de regra de três.
 
PROBLEMAS RESOLVIDOS
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REGRA DE 3 SIMPLES
 
1) Um carro percorre 50 km com 5 litros de gasolina. Quantos km percorrerá com 20 litros de gasolina?
 
RESOLUÇÃO
 
a) primeiramente enumeramos na primeira linha o nome das grandezas envolvidas como abaixo:
 
distância percorrida em KM        litros de gasolina
 
b) em seguida, escrevemos na segunda linha os valores das grandezas dadas em baixo de seus respectivos nomes:
 
distância percorrida em KM        litros de gasolina
           50                             5
 
c) finalmente, na terceira linha, escrevemos os valores da suposição do problema (na grandeza desconhecida escreveremos um X):
 
distância percorrida em KM        litros de gasolina
           50                             5
            X                            20
 
d) agora, comparando a grandeza onde se encontra o X faremos a seguinte pergunta:
- Se meu carro percorre 50 km com 5 litros de gasolina, aumentando a gasolina para 20 litros eu percorrerei mais ou menos km de distância?
A resposta é óbvia, ou seja, se eu aumentar os litros de gasolina é claro que meu carro percorrerá mais km de distância e não menos. Portanto, estas duas grandezas inter-relacionadas são diretamente proporcionais entre si.
 
e) agora, multiplicaremos os termos da proporção em cruz, ou seja, o número sobre o X será multiplicado pelo número embaixo do 5 e o X será multiplicado pelo número em cima do 20.
 
5X = 20 x 50 => 5X = 1000 => X = 1000/5 = 200
 
RESPOSTA: o carro percorrerá 200 km de distância (isso se não aparecer nenhuma subida íngreme pelo caminho).
 
 
2) 10 pedreiros constroem uma casa em 20 dias. Quantos dias demorarão 20 pedreiros?

RESOLUÇÃO
 
Vou pular os itens de A à C e já montarei a proporção:
 
pedreiros        dias
   10             20
   20              X
 
Agora faremos a seguinte pergunta:
- Se 10 pedreiros constroem uma casa em 20 dias, aumentando-se o número de pedreiros para 20 os mesmos demorarão mais ou menos dias para construírem a casa?
A resposta é óbvia: aumentando-se o número de pedreiros a casa demorará menos dias para ser construída. Portanto, ambas as grandezas inter-relacionadas são inversamente proporcionais.
Nesse caso, transcreveremos abaixo a proporção, mantendo a grandeza onde se encontra o X do jeito que está e invertendo os valores da grandeza quantidade de pedreiros.
 
20                                    20
10                                     X
 
Multiplicando em cruz teremos:
 
20X = 20 x 10 => 20X = 200 => X = 200/20 = 10
 
RESPOSTA: 20 pedreiros demorarão 10 dias para construírem a casa (isso se nenhum deles enrolar ou se não chover).
 
REGRA DE 3 COMPOSTA
 
Problema único
 
10 pedreiros constroem 5 metros de muro em 3 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantos metros de muro construirão 12 pedreiros trabalhando 5 dias durante 6 horas por dia?

RESOLUÇÃO
 
pedreiros     metros de muro     dias de trabalho     horas por dia de trabalho
    10              5                3                            8
    12              X                5                            6
 
Agora faremos as seguintes perguntas sempre em relação à grandeza onde está o X:
- 10 pedreiros constroem 5 metros de muro. Aumentando-se o número de pedreiros para 12, eles construirão mais ou menos metros de muro? A resposta é óbvia: mais pedreiros construirão mais muro, portanto, ambas as grandezas são diretamente proporcionais.
- trabalhando-se 3 dias são construídos 5 metros de muro. Aumentando-se os dias para 5 serão construídos mais ou menos metros de muro? Novamente as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, aumentando-se o número de dias trabalhados é claro que também aumentará os metros de muro construídos.
- trabalhando-se 8 horas por dia constrói-se 5 metros de muro. Diminuindo a quantidade de horas trabalhadas para 6 haverá mais ou menos muro construído? Haverá menos é claro, ou seja, diminuindo-se a grandeza horas por dia de trabalho a grandeza metros de muro também diminui.
 
Que azar. Todas as grandezas são diretamente proporcionais. De qualquer forma estou com preguiça de elaborar outro problema e vamos encerrar com este mesmo.
 
O que devemos fazer agora é aplicar a regra do caminhãozinho ou do carrinho:
 
           ________
    10    |   5    |    3       8
 _________|        |_______________
|   12        X         5       6  |
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Vixe! Está mais para uma limusine do que para um carrinho!

Agora o que se tem que fazer é dividir o produto dos números dentro do carrinho pelo produto dos números fora do carrinho.

OBSERVE que não precisamos inverter nenhuma grandeza porque todas elas são diretamente proporcionais em relação à grandeza com X.

IMPORTANTE!!! A cabine do carrinho deverá ser sempre na coluna onde está o X.

X = 5 x 12 x 5 x 6    1800
    -------------- = ------ = 7,5
      10 x 3 x 8       240 

RESPOSTA: serão construídos 7,5 metros de muro.